Class Nine Higher Math | 8th Week | Assignment 2021 Answer

সমাধান i)

দেওয়া আছে, 

P(x) ও Q(x) ত্রিমাত্রিক বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক = $(x-2)$(x−2)​​

 এবং দ্রুবপদ = 24

মনে করি,

​$P(x) = x^3+2x^2-20x+24$P(x)=x3+2x2−20x+24

$Q(x) = x^3-x^2-14x+24$Q(x)=x3−x2−14x+24

যদি P(2) ও Q(2) এর মান শুন্য হয় তবেই (x-2) বহুপদী দুইটির সাধারণ উৎপাদক হবে। 

এখন, 

​$P(x) = x^3+2x^2-20x+24$P(x)=x3+2x2−20x+24

$P(2)=(2)^3+2(2)^2-20(2)+24$P(2)=(2)3+2(2)2−20(2)+24

          = $8+8-40+24$8+8−40+24

          = $40-40$40−40

         = $0$0

আবার,

​$Q(x) = x^3-x^2-14x+24$Q(x)=x3−x2−14x+24

 $Q(2)=(2)^3-(2)^2-14(2)+24$Q(2)=(2)3−(2)2−14(2)+24

           = $8-4-28+24$8−4−28+24

           =$32-32$32−32

          = $0$0

অতএব, নির্ণেয় ত্রিমাত্রিক বহুপদী রাশি,

​$P(x) = x^3+2x^2-20x+24$P(x)=x3+2x2−20x+24

এবং, $Q(x) = x^3-x^2-14x+24$Q(x)=x3−x2−14x+24

সমাধান ii)

আংশিক ভগ্নাংশের সূত্রে প্রকাশঃ

মনে করি, 

​$P(x) = লব$P(x)=লব

​$Q(x) = হর$Q(x)=হর

এখন, $P(x) = x^3+2x^2-20x+24$P(x)=x3+2x2−20x+24

                 = $x^3-2x^2 +4x^2-8x-12x+24$x3−2x2+4x2−8x−12x+24

                 = $x^2(x-2)+4x(x-2)-12(x-2)$x2(x−2)+4x(x−2)−12(x−2)

                 = $(x-2)(x^2+4x-12)$(x−2)(x2+4x−12)

                 = $(x-2)(x^2+6x-2x-12)$(x−2)(x2+6x−2x−12)

                 = $(x-2)lbrace x(x+6)-2(x+6) rbrace$(x−2){x(x+6)−2(x+6)}

                 = $(x-2)(x+6)(x-2)$(x−2)(x+6)(x−2)

$Q(x) = x^3-x^2-14x+24$Q(x)=x3−x2−14x+24

          $= x^3-2x^2+x^2-2x-12x-24newline =x^2(x-2)+x(x-2)-12(x-2)newline =(x-2)(x^2+x-12)newline =(x-2)(x^2+4x-3x-12)newline =(x-2)lbrace x(x+4)-3(x+4)rbrace newline =(x-2)(x+4)(x-3)$=x3−2x2+x2−2x−12x−24=x2(x−2)+x(x−2)−12(x−2)=(x−2)(x2+x−12)=(x−2)(x2+4x−3x−12)=(x−2){x(x+4)−3(x+4)}=(x−2)(x+4)(x−3)

সুতরাং, আংশিক ভগ্নাংশ =$frac {P(x)} {Q(x)}$Q(x)P(x)​

                            $=frac {(cancel {x-2})(x+6)(x-2)} {cancel {(x-2)}(x+4)(x-3)}newline =frac {(x-2)(x+6)} {(x-3)(x+4)}$=(x−2)​(x+4)(x−3)(x−2​)(x+6)(x−2)​=(x−3)(x+4)(x−2)(x+6)​​ 

​

মনে করি,

​$=frac {(x-2)(x+6)} {(x-3)(x+4)} = 1+ frac A {x-3} + frac B {x+4} —— (i)$=(x−3)(x+4)(x−2)(x+6)​=1+x−3A​+x+4B​−−−−−−(i)

সমাধান (iii)

(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(x-3)(x+4)$(x−3)(x+4) দ্বারা গুণ করে পাই,

$(x-2)(x+6) = (x-3)(x+4)+A(x+4) +B(x-3)—–(ii)$(x−2)(x+6)=(x−3)(x+4)+A(x+4)+B(x−3)−−−−−(ii)​​

(ii) নং এর উভয় পক্ষে $x=3$x=3 বসিয়ে,

​$(3-2)(3+6) = (3-3)(3+4)+A(3+4) +B(3-3)$(3−2)(3+6)=(3−3)(3+4)+A(3+4)+B(3−3)

বা, $9=7A$9=7A

বা, $A = frac 9 7$A=79​

আবার, (ii) নং এর উভয় পক্ষে $x=-4$x=−4​ বসিয়ে,

​$(-4-2)(-4+6) = (-4-3)(-4+4)+A(-4+4) +B(-4-3)$(−4−2)(−4+6)=(−4−3)(−4+4)+A(−4+4)+B(−4−3)

বা, $-12= -7B$−12=−7B

বা, $B= frac {12} 7$B=712​

A ও B এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

​$frac {(x-2)(x+6)} {(x-3)(x+4)} = 1+ frac {frac 9 7} {x-3} + frac {frac {12} 7} {x+4}$(x−3)(x+4)(x−2)(x+6)​=1+x−379​​+x+4712​​

                        = $1+ frac 9 {7(x-3)} + frac {12} {7(x+4)}$1+7(x−3)9​+7(x+4)12​​​